Número Áureo

Observa el rectángulo ABDC de altura 1: si eliminamos el cuadrado AEFC, el rectángulo que queda, EBDF, es proporcional al inicial y, por lo tanto, se cumple que:

$$\frac { x }{ 1 } =\frac { 1 }{ x-1 } $$

Si operamos esta expresión, obtenemos una ecuación de segundo grado:$$x·(x-1)=1\longrightarrow { x }^{ 2 }-x-1=0$$ cuyas soluciones son:

$$x=\frac { 1\pm \sqrt { 1-4·1·(-1) }  }{ 2·1 } =\frac { 1\pm \sqrt { 5 }  }{ 2 } \\ \\ $$

La solución positiva es el número áureo: $$\phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } \\ \\ $$

Un rectángulo con estas proporciones se llama rectángulo áureo y la razón entre los lados fue llamada por los griegos razón áurea o divina proporción. Esta razón áurea se ha utilizado en el arte, literatura, en objetos cotidianos, en películas de cine, etc.

UN POCO DE HISTORIA

ACTIVIDADES

1) Con ayuda de la calculadora, calcula con cuatro decimales, el valor del número áureo  (1 punto)

2) Coge un billete de 5 euros y mide sus dimensiones. ¿están en proporción áurea? Elige otros billetes e investiga la relación entre sus dimensiones (2 puntos)

3) Encuentra al menos tres objetos de tu entorno cotidiano cuyas dimensiones guarden la proporción áurea y demuestra que lo están. (2 puntos)

4) Construye y decora una espiral áurea comenzando por un cuadrado de 10 cm de lado. (3 puntos)

5) Busca otro ejemplo de razón áurea en el arte, naturaleza, literatura, etc. distinto de los descritos en UN POCO DE HISTORIA y realiza un análisis del mismo (2 puntos)