El Arte Geométrico

Observa la imagen, ¿te gusta?: aunque parece complicadísima, en realidad es bastante fácil de construir con un poco de paciencia:

- Se empieza dibujando un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Sus vértices son A, B y C

- Sobre cada lado del triángulo ABC, señala tres nuevos puntos, D, E y F, cada uno a 1 cm de los vértices A, B y C. Únelos formando un nuevo triángulo equilátero

- Sobre cada lado del triángulo DEF, señala tres nuevos puntos, G, H e I, cada uno a 1 cm de los vértices D, E y F. Únelos formando un nuevo triángulo equilátero

- Repite el proceso hasta que no puedas más

- Marca con un trazo más grueso los segmentos que unen los puntos y obtendrás una tesela

- El dibujo inicial se consigue uniendo cuatro triángulos como los anteriores, de tal manera que rellenen el plano

Ahora te toca probar e investigar:
1) ¿Cuál sería el aspecto de la tesela si partimos de un cuadrado de 10 cm de lado?
2) ¿Cuál sería el aspecto de la tesela si partimos de un hexágono regular de 7 cm de lado?
3) Partiendo de la misma idea diseña tu propia figura utilizando y combinando los polígonos que quieras. Recuerda que la figura debe ocupar todo el plano, es decir, debes utilizar polígonos o combinaciones de ellos que teselen el plano (lo rellenen completamente). Por lo tanto, primero deberás investigar qué combinaciones de dos o más polígonos rellenan el plano completamente

Para entregar la actividad, utiliza dos folios en blanco para las actividades 1) y 2) y un dinA4 con márgenes de 1cm por cada lado para la actividad 3). Para que quepa tu diseño, utiliza teselas más pequeñas

Curvas Envolventes

El diccionario nos dice que "envolver" significa "rodear": así, utilizamos un envoltorio para mandar un paquete por correo.

Para los matemáticos, la palabra "envolvente" hace referencia a una familia de líneas o curvas que rodean alguna figura. En el dibujo, las líneas parecen que forman un círculo, aunque dicho círculo no está de ningún modo dibujado. Se dice entonces que las líneas son envolventes.

En esta actividad, para dibujar ésta y otras envolventes necesitarás primero dibujar una circunferencia grande (por ejemplo, de 10 cm de diámetro) y marcar 36 puntos sobre ella. Te resultará fácil con ayuda de un transportador de ángulos, pues los puntos están a intervalos de 10º medidos desde el centro de la circunferencia.

1) Dibuja la envolvente anterior. Para ello, tienes que unir cada punto n con el (n + 10) mediante un segmento. Es decir: el punto a1 lo uniremos al a11, el a2 al a12 y así sucesivamente. Cuando (n + 10) resulte mayor de 36, debes restar 36 para encontrar el número correcto. Por ejemplo, si n = 29, debes unirlo con 29 + 10 - 36 = 3

2) Investiga cuál es la envolvente que se obtiene al dibujar segmentos que unen n con (n + 5), con (n + 15) o con (n + 25)

3) La "cardiodie" (curva con forma de corazón) se construye uniendo cada punto n con el 2n. Dibújala

4) La "nefroide" (curva con forma de riñón) se construye uniendo cada punto n con el 3n. Dibújala.

5) Investiga el efecto de una regla que se te ocurra y ponle título.

Mosaicos de la Alhambra

Como la religión islámica prohíbe la representación de figuras humanas y de animales, los artistas musulmanes buscan la belleza basada en la caligrafía, los motivos vegetales y las figuras geométricas, especialmente en los MOSAICOS. El arte a base de rellenar el plano con la repetición de figuras alcanzó su máxima expresión en la España musulmana durante el siglo XIII, bajo el reinado de la Dinastía Nazarí. Concretamente, en la Alhambra de Granada, se encuentran los mejores mosaicos.

Los cuatro motivos basados en una única figura que más se repiten en los mosaicos de la Alhambra son los llamados el "hueso", el "pez volador", el "avión" y la "pajarita"

Los tres primeros se obtienen a partir de un cuadrado y la pajarita a partir de un triángulo equilátero.
Por ejemplo, a partir de un cuadrado se puede obtener el "hueso" de la siguiente manera:

1) Dibuja paso a paso las transformaciones que tenemos que hacer a partir de un cuadrado para obtener el "pez volador" y el "avión" y a partir de un triángulo equilátero para obtener la "pajarita"

2) La industria actual copia los diseños de los mosaicos nazaríes pero en vez de construirlos pieza y pieza, que sería mucho más costosos en dinero y tiempo, los consigue mediante baldosas cuadradas e iguales, con cuya composición se obtiene el dibujo deseado. En el caso del "hueso" un ejemplo sería:

Elige uno de los cuatro mosaicos nazaríes y busca si se puede fabricar una baldosa cuadrada que componga el mosaico elegido

3) Los únicos polígonos regulares que teselan (que rellenan en plano sin dejar huecos) son el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular. Te propongo elegir uno de los tres e inventarte una secuencia de transformaciones para convertirlo en una pieza única a tu gusto, a partir de la cual harás tu propio mosaico. Para ello:
- coge una lámina DIN-A4 y dibuja alrededor un margen de 1 cm
- divide el papel por la mitad: en la mitad de la izquierda dibujarás la secuencia de transformaciones y el resultado final de tu tesela. En la mitad de la derecha dibujarás el mosaico resultante de repetir tu diseño

El área de un hexágono regular

En clase habrás visto que el área de cualquier polígono regular se calcula como:

El hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros, por lo tanto:

¿Se puede hacer este razonamiento con otras figuras planas? Busca trapecios isósceles o rombos en el hexágono regular e intenta deducir a partir de ellos la fórmula del área de un hexágono regular.

Si lo consigues, escribe tus conclusiones y entrégalo a la profesora... ¡¡¡Suerte!!!

El signo de la multiplicación

Un clérigo inglés que vivió a finales del siglo XVI y principios del XVII, adoptó un símbolo relacionado con la cruz de San Andrés para designar las operaciones de multiplicación. Sin embargo, un matemático alemán consideró que este símbolo podía causar confusión en las ecuaciones y decidió utilizar el signo que usamos actualmente.